Định nghĩa

Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:

Cho ( X , d 1 ) {\displaystyle (X,d_{1})} và ( Y , d 2 ) {\displaystyle (Y,d_{2})} là 2 không gian mê tric.

Ánh xạ f : ( X , d 1 ) → ( Y , d 2 ) {\displaystyle f\,\,:\,(X,d_{1})\,\rightarrow \,(Y,d_{2})} liên tục tại x ∈ X {\displaystyle x\in X} nếu

∀ ε > 0 , ∃ σ > 0 , d 1 ( x , y ) < σ ⇒ d 2 ( f ( y ) , f ( x ) ) < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,\exists \sigma >0,\,d_{1}(x,y)\,<\,\sigma \,\Rightarrow d_{2}(f(y),f(x))\,<\varepsilon }

hay với mọi B ( f ( x ) , ε ) {\displaystyle B(f(x),\varepsilon )} tâm tại f ( x ) {\displaystyle f(x)} khi đó ∃ B ( x , σ ) {\displaystyle \exists B(x,\sigma )} tâm tại x {\displaystyle x} sao cho

f ( B ( x , σ ) ) ⊂ B ( f ( x ) , ε ) {\displaystyle f(B(x,\sigma ))\subset B(f(x),\varepsilon )} .

Tính chất

• Cho ( X , d ) {\displaystyle (X,\,d)} là không gian mêtric, A {\displaystyle A} là tập con của X {\displaystyle X} thì f A : X → R {\displaystyle f_{A}\,:\,X\rightarrow \mathbb {R} } với f A ( x ) = d ( { x } , A ) {\displaystyle f_{A}(x)=d(\{x\},\,A)} là liên tục.

Liên tục Lipchitz[3]

Cho hai không gian mêtric ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} và ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} với d X {\displaystyle d_{X}} là mêtric trên X {\displaystyle X} và d Y {\displaystyle d_{Y}} là mêtric trên Y {\displaystyle Y} .

f : X → Y {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y} là liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số K ≥ 0 {\displaystyle K\geq 0} sao cho với mọi x 1 , x 2 ∈ X {\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}

d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ K d X ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),\,f(x_{2}))\leq K\,d_{X}(x_{1},\,x_{2})}

Ví dụ

Hàm f ( x ) = x 2 + 5 {\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}}}+5} liên tục Lipchitz với K = 1 {\displaystyle K=1} .

Liên tục Holder[3]

Cho hai không gian mêtric ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} và ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} với d X {\displaystyle d_{X}} là mêtric trên X {\displaystyle X} và d Y {\displaystyle d_{Y}} là mêtric trên Y {\displaystyle Y} , với α {\displaystyle \alpha } là số thực.

f : X → Y {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y} là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số K ≥ 0 {\displaystyle K\geq 0} sao cho với mọi x 1 , x 2 ∈ X {\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}

d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ K ( d X ( x 1 , x 2 ) ) α {\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),\,f(x_{2}))\leq K(\,d_{X}(x_{1},\,x_{2}))^{\alpha }}

Ví dụ

f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} là liên tục Holder với α ≤ 1 2 {\displaystyle \alpha \leq {\frac {1}{2}}} , nhưng không liên tục Lipchitz.

Liên tục Cauchy[4]

Cho X {\displaystyle X} và Y {\displaystyle Y} là hai không gian mêtric, f {\displaystyle f} là hàm từ X {\displaystyle X} vào Y {\displaystyle Y} .

Hàm f {\displaystyle f} là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì ( x 1 , x 2 , . . . ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},...)} trong X {\displaystyle X} , dãy ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , . . . ) {\displaystyle (f(x_{1}),\,f(x_{2}),\,...)} là dãy Cauchy trong Y {\displaystyle Y} .

Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục.Nếu X {\displaystyle X} là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên X {\displaystyle X} là liên tục Cauchy.

ví dụ

Trên đường thẳng thực R {\displaystyle \mathbb {R} } liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.

Hàm f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} khi x 2 < 2 {\displaystyle x^{2}<2} và f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1} khi x 2 > 2 {\displaystyle x^{2}>2} với mọi số hữu tỉ x {\displaystyle x} . Hàm này liên tục trên Q {\displaystyle \mathbb {Q} } nhưng không liên tục Cauchy